考研数学三辅导深圳

考研数学：线性代数基础阶段复习指导

3建立知识框架

基础阶段线代要大概围绕以下内容建立知识框架，即线性方程组，向量，秩，矩阵运算。建立知识框架，类似于围棋中的布局，要想下好棋，大局观非常重要，这在线性代数尤其重要。

线性代数的学习切入点：线性方程组，线代贯穿的主线就是求方程组的解，换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科，不管是向量的线性相关，线性表示，还是求特征向量，都是围绕线性方程组。关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：(1)方程组是否有解，即解的存在性问题(2)方程组如何求解，有多少个解(3)方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

线性方程组求解主要是高斯消元法，在利用求解的过程中涉及到一种重要的运算，即把某一行的倍数加到另一行上，也就是说，为了研究从线性方程组的系数和常数项判断它有没有解，有多少解的问题，需要定义这样的运算，这提示我们可以把问题转为直接研究这种对n元有序数组的数量乘法和加法运算，即向量。例如大家可以过一些简单例子体会线性相关和线性无关(零向量一定线性无关、单个非零向量线性无关、单位向量组线性无关等等)。也可以从多个角度(线性组合角度、线性表出角度、齐次线性方程组角度)体会线性相关和线性无关的本质。这部分内容概念多，定理性质也多，光凭记忆是很难掌握的。

秩是一个非常深刻而重要的概念，就可以判断向量组是线性相关还是线性无关，有了秩的概念以后，我们可以把线性相关的向量组用它的极大线性无关组来替换掉，从而得到线性方程组有解的充分要条件：若系数矩阵的列向量组的秩和增广矩阵的列向量组的秩相等，则有解，若不等，则无解。秩的灵活运用，充分体现了线性代数中推理和抽象性强的特点，同学们在做题时要好好体会，因此有要进一步好好研究向量组的秩的计算方法。

在研究线性方程组的解的过程当中，同学们注意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用，故还有要对矩阵及其运算进行专门研究，建立这方面的知识框架。