考研辅导数学班

考研数学：线代重点解析之特征值与二次型

二次型
二次型这一章节主要研究两个方面的问题：

1、二次型的标准化问题
二次型的标准化问题与矩阵的对角化问题紧密相连，因此化二次型为标准形的问题就转化成了实对称矩阵的相似对角化问题。化二次型为标准形有两种方法：一是正交变换法；二是配方法。从历年考题来看，利用正交变化法化二次型为标准形是考研线性代数考查的重要方向，但是其实质就是实对称矩阵的正交相似对角化问题，也就是说实二次型的标准化问题与实对称矩阵的正交相似对角化问题是同一问题的两种不同的提法，并且这两种不同的提法在历年考研真题的大题中是交替出现的，因此掌握了实对称矩阵的正交相似对角化那么实二次型的标准化问题也就迎刃而解了。另外，在没有其他要求的情况下，利用配方法得到标准形可能更方便一些。本章节的内容除了会以大题的形式出现外，二次型的矩阵表示、二次型的秩和标准形等概念、二次型的规范形和惯性定理也是填空题、选择题中不可或缺的一部分。

2、二次型的正定性判断
此处的考点主要出现在填空题或者选择题中，一般考查的有两种形式的二次型：一是具体的数值型二次型；二是抽象的二次型。对于具体的数值型二次型来说，一般可通过判断其顺序主子式是否全部大于零来判别二次型是否为正定二次型；而抽象的二次型的正定性判断可以通过利用其标准形、规范形中的系数是否都大于0，或者特征值是否都大于0等得到证明，当然二次型的正定性判断问题的顺利解决是建立在熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件的基础之上的。